Question

已知函数f（x）=2a•4^x-2^x-1．
（1）当a=1时，求函数f（x）的零点；
（2）若f（x）有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）问题转化为a=1时解方程f（x）=0；
（2）f（x）有零点，则方程2a•4^x-2^x-1=0有解，分离出a后转化为求函数的值域问题；

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2•4^x-2^x-1．
令f（x）=0，即2•（2^x）²-2^x-1=0，
解得2^x=1或2x=-

1

2

（舍去）．
∴x=0，函数f（x）的零点为x=0；
（2）若f（x）有零点，则方程2a•4^x-2^x-1=0有解，
于是2a=

2x+1

4x

=(

1

2

)x+(

1

4

)x=[(

1

2

)x+

1

2

]2-

1

4

，
∵(

1

2

)x＞0，2a＞

1

4

-

1

4

=0，即a＞0．

点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查方程的思想，属中档题．