Question

【题目】已知椭圆：， 过点的直线：与椭圆交于M、N两点（M点在N点的上方），与轴交于点E.

（1）当且时，求点M、N的坐标；

（2）当时，设，，求证：为定值，并求出该值；

（3）当时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）M(0，1)，N (，)；（2）为定值3（3）

【解析】

（1）代值联立方程组．解得即可求出，

（2）联立方程，利用韦达定理，以及向量的知识可得从而，化简整理即可证明，

（3）假设存在直线l：y＝k（x+1）满足题意，则△MNF的内切圆的半径为，根据韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出k的值

解：(1) 当m=k=1时，联立，解之得：或，

即M(0，1)，N (，)；

(2) 当m=2时联立，消去y得：，

设M(x1，y1)，N (x2，y2)，则，

由，，且点的横坐标为0，

得、. 从而

=

=，

为定值3；

(3) 当m=3时，椭圆：，假设存在直线满足题意，则△的内切圆的半径为，又、为椭圆的焦点，故△MNF的周长为8，

从而，

消去，得，设、，

则.

故，即.

由(2)，得，

化简，得，解得，

故存在直线满足题意．