Question

已知椭圆经过 点，且离心率为，右顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂；椭圆C₂以坐标原点为中心，且以F₁F₂为短轴端，上顶点为D．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若C₁与C₂交于M、N、P、Q四点，当AD∥F₂B时，求四边形MNPQ的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆经过点，且离心率为，建立方程，求得几何量，从而可得椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）C₂的短轴长为2，设方程为（m＞1），利用AD∥F₂B，可得C₂的方程，与椭圆方程联立，根据对称性，可得四边形MNPQ的面积．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆经过点，且离心率为，∴e=，b=
∴a=2，∴椭圆C₁的方程为；
（Ⅱ）C₂的短轴长为2，设方程为（m＞1）
∴D（0，m），A）2，0），F₂（1，0）
∵AD∥F₂B，∴m=
∴C₂的方程为
设N（x₁，y₁），则，解得，∴|x₁y₁|=
∴根据对称性，可得四边形MNPQ的面积为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查面积的计算，考查学生的计算能力，确定椭圆的方程是关键．