Question

（本题满分12分）已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（II）直线经过点与椭圆相交于A、B两点，与抛物线相交于C、D两点．求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（II）当直线l垂直于轴时，取得最大值

【解析】解：（Ⅰ）解法1：由抛物线方程，得焦点，………1分

故                     ① 

又椭圆经过点，∴    ②  

由①②消去并整理，得，，解得，或（舍去），

从而． 故椭圆的方程为 ．       ……………4分  

解法2：由抛物线方程，得焦点， 

故椭圆的方程为 ．                ……………4分  

（Ⅱ）①当直线l垂直于轴时，

则           …5分

②当直线l与轴不垂直，设其斜率为，则直线l的方程为

由   得 

显然，该方程有两个不等的实数根．设，.

,      

所以，

……………8分

由   得 

显然，该方程有两个不等的实数根．设，.

 ,           

由抛物线的定义，得 ……………10分

综上，当直线l垂直于轴时，取得最大值. ……………………………12分