Question

求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y²=2x仅有一个交点．满足条件的直线为：

x=0，或 y=1，或 y=

1

2

x+1

．

Answer 1

分析：当所求直线的斜率不存在时，求得直线的方程；当所求的直线平行于x轴时，求得直线方程为，当所求直线的斜率存在且不等于零时，设出直线的方程为 y=kx+1，代入抛物线y²=2x可得 k²•x²+（2k-2）x+1=0，再由判别式△=0，求得k的值，可得此时的直线方程．综合可得结论．

解答：解：当所求直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=0．
当所求的直线平行于x轴时，方程为 y=1．
当所求直线的斜率存在且不等于零时，设为k，则直线的方程为 y=kx+1，代入抛物线y²=2x可得 k²•x²+（2k-2）x+1=0．
由判别式△=（2k-2）²-4k²=0，k=

1

2

，故此时所求直线的方程为 y=

1

2

x+1．
故答案为 x=0，或 y=1，或 y=

1

2

x+1．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．