Question

对于实数x，若整数m满足x-

1

2

≤m＜x+

1

2

，则称m为离x最近的整数，记为{x}=m，f（x）=|x-{x}|，给出下列四个命题：
①{1.5}=2；  
②函数y=f（x）的值域是[0，

1

2

]；
③函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；
④函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；
其中真命题是

②③④

．

Answer 1

分析：根据题意，先对函数化简，作出函数图象，根据函数的图象可判断各个选项是否正确

解答：解：根据题意得，x-{x}=

… x (- 1 2 ＜x≤ 1 2 ) x-1 ( 1 2 ＜x≤ 3 2 ) x-2  ( 3 2 ＜x≤ 5 2 ) …

作出f（x）=|x-{x}|的图象如图所示：
∴{1.5}=

1

2

，知①错；
y=f（x）的值域是[0，

1

2

]，∴②对；
y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称，∴③对；
y=f（x）是周期函数，最小正周期是1，∴④对；
故答案为：②③④

点评：本题考查了新定义概念，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究规律，是中档题．