Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N*，都有a_n＞0，S_n=.
(Ⅰ)求a₁，a₂的值；
(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(Ⅲ)证明：。

Answer 1

解：(Ⅰ)当n=1时，有，
由于，所以，
当n=2时，有，即，
将代入上式，由于，所以。
(Ⅱ)由，
得，  ①
则有，  ②
②-①，得，
由于，所以，③
同样有，，④
③-④，得，
所以a_n+1-a_n=l，
由于a₂-a₁=l，
即当n≥l时都有a_n+1-a_n=1，
所以数列{a_n}是首项为l，公差为l的等差数列，故a_n=n。
(Ⅲ)证法一：由于，

所以，，
即，
令，则有，
即，
即，故。
证法二：要证，
只需证，
只需证，
只需证，
由于


，
因此原不等式成立。