题目内容

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²+4x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知a为实数，且f（a²-a）＜f（4a-4），求函数g（x）= $数学公式$ （x-a）在区间[0，2]上的最小值．

解1）设x＜0，则-x＞0，由已知可得：f（-x）=（-x）²-4x．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x．
所以函数的解析式为： $\text{[math]}$ ．
（2）当x≥0时，f（x）=（x+2）²-4，∴函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；
同理可得：当x＜0时，函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增．由函数f（x）在x=0时连续，
∴函数f（x）在R上单调递增．
∵实数a满足f（a²-a）＜f（4a-4），
∴a²-a＜4a-4，解得1＜a＜4．
令 $\text{[math]}$ ，∵x∈[0，2]，∴ $\text{[math]}$ ．
∴y=t（t²-a），∴y^′=3t²-a．
令y^′=0，则 $\text{[math]}$ ，
又∵1＜a＜4，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
当t $\text{[math]}$ 时，y^′＜0；当 $\text{[math]}$ 时，y^′＞0．
∴函数y=t³-at在区间[0， $\text{[math]}$ ]上单调递减；在区间[ $\text{[math]}$ 上单调递增．
∴函数y=t³-at在 $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时取得最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用奇函数的定义即可求得当x＜0时的解析式．
（2）据函数f（x）的解析式，先证明函数f（x）在R上的单调性，即可求出a的取值范围．再对函数g（x）求导并求出极值，进而可求得最小值．
点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性及最值，充分理解以上性质和掌握利用导数求最值的方法是解决问题的关键．