Question

在数列中{a_n}，它的前n项和S_n=1-na_n（n∈N⁺），则数列{a_n}的通项公式为

1

n(n+1)

．

Answer 1

分析：由S_n=1-na_n（n∈N⁺），推导出

an

an-1

=

n-1

n+1

，a1=

1

2

．由此利用累乘法能求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：∵S_n=1-na_n（n∈N⁺），
∴S_n-1=1-（n-1）a_n-1，
两式相减，得a_n=-na_n+（n-1）a_n-1，
∴

an

an-1

=

n-1

n+1

，
由S_n=1-na_n（n∈N⁺），得a₁=1-a₁，解得a1=

1

2

．
∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

1

3

×

2

4

×…×

n-1

n+1

=

1

n(n+1)

．
故答案为：

1

n(n+1)

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意递推公式和累乘法的合理运用．