Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n与b_n；
（2）求和：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，由题设条件建立方程组

S3b3=(9+3d)q2=960 S2b2=(6+d)q=64

，解这个方程组得到d和q的值，从而求出a_n与b_n．
（2）由S_n=n（n+2），知

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此可求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1
依题意有

S3b3=(9+3d)q2=960 S2b2=(6+d)q=64

①
解得

d=2 q=8

，或

d=- 6 5 q= 40 3

（舍去）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=8^n-1
（2）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．