题目内容

P，A，B为双曲线
x2
16
-
y2
4
=1上不重合的三点，其中A，B关于原点对称，且直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1•k2=
1
4
1
4
．
分析：利用双曲线的标准方程和直线的斜率计算公式即可得出．
解答：解：∵A，B关于原点对称，∴可设A（x1，y1），则B（-x1，-y1）．
设P（x2，y2）．
由P，A，B为双曲线
x2
16
-
y2
4
=1上不重合的三点，
∴
x
2
1
16
-
y
2
1
4
=1，
x
2
2
16
-
y
2
2
4
=1，∴
x
2
2
-
x
2
1
16
=
y
2
2
-
y
2
1
4
．
∴k1•k2=
y2-y1
x2-x1
×
y2+y1
x2+x1
=
y
2
2
-
y
2
1
x
2
2
-
x
2
1
=
4
16
=
1
4
．
故答案为
1
4
．
点评：熟练掌握双曲线的标准方程和直线的斜率计算公式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在双曲线x2-y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为
2
．
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，|
PA
|+|
PB
|=k，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点；
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3；
④和定点A（5，0）及定直线l：x=
25
4
的距离之比为
5
4
的点的轨迹方程为
x2
16
-
y2
9
=1．
其中真命题的序号为
 
．
如图，已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的方程；
（2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，直线AP、PB分别交椭圆C1于点M、点N，若△AMN与△PMN的面积相等．①求P点的坐标 ②求证：
MN
•
AB
=0．
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
③若方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
5
2

④双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为
③、④
③、④
（写出所有真命题的序号）
已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2
3
）的双曲线C1上的一动点，点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点，设直线PA1与QA2的交点为M（x，y），
（1）求双曲线C1的方程；
（2）求动点M的轨迹C2的方程；
（3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．

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