Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
③若方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

5

2

④双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为

③、④

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；②不正确，若平面内到两定点距离之和等于常数，常数为大于两个点的距离；③正确，若方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，④正确，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0）．

解答：解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．
②不正确，若平面内到两定点距离之和等于常数，常数为两个点的距离的轨迹是两点的垂直平方线，而不是椭圆；
③正确，若方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜

5

2

；
④正确，双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0）；
故答案为：③、④

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．