Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°。

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明PA⊥BD。

Answer 1

解：（1）取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD 作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE 根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD， 所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=3，四棱锥P-ABCD的体积  VP-ABCD=。 （2）连结AO，延长AO交BD于点F 通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8， 得 所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以AF⊥BD 因为直线AF为直线PA在平面ABCD 内的射影， 所以PA⊥BD。