题目内容

若过平面α上的点A的直线a⊥α,求证:a是唯一的.

      

证明:假设a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b,b⊥α.?

       ∵a、b是相交直线,?

       ∴a、b可以确定一个平面β.?

       设α和β相交于过点A的直线c.?

       ∵a⊥α,b⊥α,?

       ∴a⊥c,b⊥c.?

       这样在平面β内,过点A就有两条直线垂直于c,这与定理产生矛盾.?

       ∴a是唯一的.?

       温馨提示:关于唯一性的问题,在几何中有,在代数、三角等学科中也有.这类题目用直接证法证明相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法或同一法证明,用反证法证明有时比同一法更方便.

练习册系列答案
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精英家教网已知拋物线C：x2=2py（p＞0）上的一点Q（m，2）到其焦点F的距离为3．
（I）求拋物线C的方程；
（II）过坐标平面上的点F′作拋物线C的两条切线l1和l2，分别交x轴于A，B两点．
（i ）若点F′的坐标为（0，-1），如图，求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F'的位置，或拋物线的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明．
在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲线C上任意-点M（x，y）满足：|
MA
+
MB
|=4-
1
2
OM
•(
OA
+
OB
)．
（l）求曲线C的方程；
（2）设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN．试探究kPM•kPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
（3）设曲线C与y轴交于D、E两点，点M （0，m）在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为（0，2）时，|
MP
|取得最小值，求实数m的取值范围．
（2012•江苏二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．
（1）求圆O1的标准方程；
（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．

已知拋物线C：x2=2py（p＞0）上的一点Q（m，2）到其焦点F的距离为3．
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（II）过坐标平面上的点F′作拋物线C的两条切线l1和l2，分别交x轴于A，B两点．
（i ）若点F′的坐标为（0，-1），如图，求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F'的位置，或拋物线的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明．
已知拋物线C：x2=2py（p＞0）上的一点Q（m，2）到其焦点F的距离为3．
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（II）过坐标平面上的点F′作拋物线C的两条切线l1和l2，分别交x轴于A，B两点．
（i ）若点F′的坐标为（0，-1），如图，求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F'的位置，或拋物线的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明．

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