Question

在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲线C上任意-点M（x，y）满足：|

MA

+

MB

|=4-

1

2

OM

•(

OA

+

OB

)．
（l）求曲线C的方程；
（2）设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN．试探究k_PM•k_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
（3）设曲线C与y轴交于D、E两点，点M （0，m）在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为（0，2）时，|

MP

|取得最小值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）算出向量

MA

、

MB

的坐标，从而得到|

MA

+

MB

|关于x、y的表达式，代入题中等式并化简，即得：

x2

3

+

y2

4

=1，即为所求曲线C的方程．
（2）设P（x，y），M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），将M、N坐标分别代入（1）中求出的椭圆方程，再作差化简整理，可得

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

4

3

．由此化简k_PM•k_PN，得k_PM•k_PN的值恒等于-

4

3

，与点P的位置和直线L的位置无关．
（3）将P（x，y）代入椭圆方程，可得x²=3-

3

4

y²且-2≤y≤2，由此化简得|

MP

|=

1 4 (y-4m)2-3m2+3

．因为当点P的坐标为（0，2）时|

MP

|取得最小，所以结合二次函数的性质得4m≥2，解之得m≥

1

2

．最后结合-2≤y≤2，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）由题意，可得
∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）
∴

MA

+

MB

=(-1-x，1-y)+(1-x，1-y)=(-2x，2-2y)，
由此可得，|

MA

+

MB

|=

(-2x)2+(2-2y)2

=

4x2+4y2-8y+4

，
又∵|

MA

+

MB

|=4-

1

2

OM

•(

OA

+

OB

)，且4-

1

2

OM

•(

OA

+

OB

)=4-

1

2

(x，y)•(0，2)=4-y，
∴

4x2+4y2-8y+4

=4-y，
化简整理得：

x2

3

+

y2

4

=1，即为所求曲线C的方程．
（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
所以可设P（x，y），M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）．
∴P，M，N在椭圆上，
∴

x2

3

+

y2

4

=1，…①．

x 2 0

3

+

y 2 0

4

=1，…②
①-②，得

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

4

3

．
又∵kPM=

y-y0

x-x0

，kPN=

y+y0

x+x0

，
∴kPM•kPN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

4

3

，
因此，k_PM•k_PN的值恒等于-

4

3

，与点P的位置和直线L的位置无关．
（3）由于P（x，y）在椭圆C：

x2

3

+

y2

4

=1上运动，可得x²=3-

3

4

y²且-2≤y≤2
∵

MP

=（x，y-m），
∴|

MP

|=

x2+(y-m)2

=

1 4 y2-2my+m2+3

=

1 4 (y-4m)2-3m2+3

由题意，点P的坐标为（0，2）时，|

MP

|取得最小值，
即当y=2时，|

MP

|取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得m≥

1

2

．
又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，
∴

1

2

≤m≤2，实数m的取值范围是[

1

2

，2]．

点评：本题给出曲线C上的动点满足的向量等式，求曲线C的方程并讨论斜率之积为定值的问题，着重考查了轨迹方程的求法、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆位置关系和向量的数量积运算等知识，属于中档题．