Question

对于定义域为的函数，若同时满足以下三个条件：
①； 
②，总有； 
③当，，时，都有，

则称函数为“梦想函数”．
（Ⅰ）若函数为“梦想函数”，求．
（Ⅱ）判断函数（）是否为“梦想函数”？若是，予以证明；若不是， 

说明理由．
（III）设函数为“梦想函数”，若，使，且，

求证：．

   

Answer 1

（Ⅰ）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知∀x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，

∴f（0）=0

（Ⅱ）显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2^x₁^+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0
 故g（x）=2^x-1满足条件①②③，

所以g（x）=2^x-1为“梦想函数”．

（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．

若f（x₀）＞x₀，则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；

若f（x₀）＜x₀，则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．

故f（x₀）=x₀…