Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的导数的单调性；

（2）若有两个极值点，，求实数的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；

（2）见解析.

【解析】

（1）求出，令，对，讨论来求的单调性；

（2）将有两个极值点，转化为有两解，继续转化为有两解，构造函数，求导为其极小值，可得，即可求得实数的取值范围；另外要证明，不妨设，则，由（1）根据的单调性得，通过变形，转化为证明，进一步变形证明，构造函数，利用导数研究其最小值即可证明．

（1）由题意，得.

设，则.

①当时，，所以在上单调递增.

②当时，由，得.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

（2）由于有两个极值点，，即在上有两解，，

即，显然，故等价于有两解，，

设，则，

当时，，所以在单调递减，

且，时，，时，；

当时，，所以在单调递减，且时，；

当时，，所以在单调递增，且时，，

所以是的极小值，有两解，等价于，得.

不妨设，则.

据（1）在上单调递减，在上单调递增，

故，

由于，，且，则，

所以，，

即，，

欲证明：，等价于证明：，

即证明：，只要证明：，

因为在上单调递减，，

所以只要证明：，

由于，所以只要证明：，

即证明：，

设，据（1），

，

所以在上单调递增，

所以，

即，

故.