Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2，
（Ⅰ）求异面直线AC₁与BC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面AC₁；
（Ⅲ）求二面角B-AC₁-C的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC∥B₁C₁，
∠AC₁B₁是异面直线AC₁与BC所成的角，
在△AC₁B₁中，AC₁=AB₁=，C₁B₁=，cos∠AC₁B₁=，
故异面直线AC₁与BC所成的角的余弦值为；
（Ⅱ）因为AD=DC，AB=BC，可得BD⊥AC（垂直平分线），
又CC₁⊥平面ABCD，AC为AC₁平面ABCD上的射影，
所以BD⊥平面AC₁；
（Ⅲ）设AC∩BD=O，
由（Ⅱ）得BD⊥平面ACC₁，
过O作OH⊥AC₁，垂足为H，连接BH，则BH⊥AC₁，
∠OHB为二面角B-AC₁-C的平面角，
在Rt△OBH中，OB=，OH=tan∠OHB=3，
故二面角B-AC₁-C的正切值为3。