Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，∠ADB=90°，AD=BD=1，SA⊥平面ABCD，∠ASB=30°，E、F分别是SD、SC上的动点，M、N分别是SB、SC上的动点，且

SE

SD

=

SF

SC

=λ，

SM

SB

=

SN

SC

=μ．
（I）当λ，μ有何关系时，ME⊥平面SAD？并证明你的结论；
（II）在（I）的条件下且μ=

1

2

时，求三棱锥S-AME的体积．

Answer 1

分析：（I）λ=μ通过比例关系

SE SD = SF SC =λ SM SB = SN SC =μ λ=μ

，证明ME∥BD，BD垂直平面SAD内的两条相交直线AD，SA即可．
（II）由（I）知，当λ=μ=

1

2

时，E，M分别是SD，SB的中点，通过转化求出底面SAD的面积，即可求出三棱锥S-AME的体积．

解答：解：（I）证明：当λ=μ时，ME⊥平面SAD，

SE SD = SF SC =λ SM SB = SN SC =μ λ=μ

⇒

SE

SD

=

SM

SB

⇒ME∥BD
SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD⇒SD⊥SA，∵∠ADB=90°∴BD⊥AD
∴BD⊥平面SAD，

ME∥BD BD⊥平面SAD

⇒ME⊥平面SAD．
（II）由（I）知，当λ=μ=

1

2

时，E，M分别是SD，SB的中点，
ME=

1

2

BD=

1

2

，且ME⊥平面SAD
在△ABD中，∠ADB=90°，AD=BD=1，∴AB=

2

∴SA=

6

∴S△SAD=

1

2

SA•AD=

6

2

∴三棱锥S-AME的体积
VS-AME=VM-SAE=

1

3

S△SAE•ME=

1

3

 ×

1

2

S△SAD• ME=

1

3

×

1

2

×

6

2

  ×

1

2

=

6

24

点评：本题是中档题，考查直线与平面的位置关系，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力．