Question

2．已知{a_n}是正项数列，a₁=1，且点（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=x²+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若列数{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2${\;}^{{a}_{n}}$，求证：b_nb_n+2＜b${\;}_{n+1}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知a_n+1=a_n+1，根据等差数列的定义即可求出数列的通项公式．
（2）根据数列的递推关系，利用累加法求出数列{b_n}的表达式，即可比较大小．

解答 解：（1）∵点（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上
∴a_n+1=a_n+1，
即a_n+1-a_n=1，
则{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
则a_n=n．
（2）若列数{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2${\;}^{{a}_{n}}$，
则b_n+1=b_n+2${\;}^{{a}_{n}}$=b_n+2ⁿ，
即b_n+1-b_n=2ⁿ，
则b₂-b₁=2¹，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，…b_n-b_n-1=2^n-1，
等式两边同时相加得b_n-b₁=2¹+2²+…+2^n-1，
即b_n=1+2¹+2²+…+2^n-1=$\frac{1•（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
则b_nb_n+2=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1=2²ⁿ⁺²-5•2ⁿ+1
b${\;}_{n+1}^{2}$=（2ⁿ⁺¹-1）²=2^（2n+2）-2•2ⁿ⁺¹+1=2^（2n+2）-4•2ⁿ+1，
∴b_nb_n+2＜b${\;}_{n+1}^{2}$．

点评 本题主要考查递推数列的应用，利用构造法和累加法，结合等差数列的定义，是解决本题的关键．