Question

如图所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列．

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列	…
第1行	1		2			…
第2行	1 2		1			…
第3行			a			…
第4行				b		…
第5行					c	…
…	…	…	…	…	…	…

（1）求b+c-a的值；
（2）设第3列数从上到下形成的数列是{a_n}，第3行数从左到右形成的数列是{b_n}，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）第1行前5个数依次为1，

3

2

，2，

5

2

，3，…（1分）
第2行前5个数依次为

1

2

，

3

4

，1，

5

4

，

3

2

…（2分）
∵每列是等比数列，
∴a=

1

2

，b=

5

2

×(

1

2

)3=

5

16

，c=3×（

1

2

)4⁴=

3

16

…（5分）
∴b+c-a=

5

16

+

3

16

-

1

2

=0…（6分）
（2）∵a_n=2×(

1

2

)n-1，bn=

1

8

(n+1)…（8分）
∴a_nb_n=（n+1）(

1

2

)n+1…（9分）
∴S_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+（n+1）(

1

2

)n+1

1

2

S_n=2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1+（n+1）(

1

2

)n+2
相减得

1

2

S_n=2×(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1-（n+1）(

1

2

)n+2=

3

4

-（n+3）(

1

2

)n+2
∴S_n=

3

2

-(n+3)(

1

2

)n+1…（12分）