Question

设O为坐标原点，M（2，1），点N（x，y）满足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

，则|

ON

|cos∠MON的最大值为

12 5

5

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，由于|

ON

|cos∠MON=

OM • ON

| OM |

=

2x+y

5

，设z=2x+y，再z的几何意义求最值，只需求出直线2x+y=z过可行域内的点A时，从而得到最大值即可．

解答： 解：先根据约束条件画出可行域，
设z=

OM

•

ON

=2x+y，
由

x-4y=-3 3x+5y=25

得

x=5 y=2

，∴A（5，2）．
∵当直线z=2x+y过点A（5，2）时，
z最大，最大值为12，
又

OM

•

ON

=|

OM

| •|

ON

| cos∠MON，
∴|

ON

|cos∠MON=

OM • ON

| OM |

=

z

5

，
则|

ON

|cos∠MON的最大值为

12

5

=

12 5

5

．
故答案为：

12 5

5

．

点评：本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识，属于基础题．