Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，一条准线l：x=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．
①若PQ=

6

，求圆D的方程；
②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：

c a = 2 2 a2 c =2

，解方程可求a，c利用b²=a²-c²，可求b，即可求解椭圆C的方程
（2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知PQ=

6

，可求t，进而可求
②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断

解答：解：（1）由题意可知：

c a = 2 2 a2 c =2

，
∴a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为：

1

2

x2+y2=1
（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），
则圆D的方程：(x-1)2+(y-

1

2

t)2=1+

t2

4

，
直线PQ的方程：2x+ty-2=0，
∴PQ=

6

，
∴2

(1+ t2 4 )-( |2+ 1 2 t2-2 4+t2 )2

=

6

∴t²=4，t=±2
∴圆D的方程：（x-1）²+（y-1）²=2或（x-1）²+（y+1）²=2
②证明：设P（x₁，y₁），
由①知：

(x1-1)2+(y1- 1 2 t)2=1+ t2 4 2x1+ty1-2=0

，
即：

x12+y12-2x1-ty1=0 2x1+ty1-2=0

消去t得：x12+y12=2
∴点P在定圆x²+y²=2上．

点评：本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算的能力