Question

已知椭圆椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．定义圆心在原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁，l₂分别交其“准圆”于另一点M，N．求证：|MN|为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由椭圆的简单几何性质得到a的值，结合c的值求出b的值，则椭圆C和其“准圆”的方程可求；
（Ⅱ）由椭圆的“准圆”与y轴的交点作为P点入手，分析得到|MN|的长为4，然后分过动点P的直线l₁，l₂的斜率一条不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论，当其中一条直线的斜率不存在时，分析得到另一条的斜率等于0，说明过点P的两条直线互相垂直，当斜率都存在时，写出直线方程的点斜式，和椭圆方程联立后由根与系数关系得到两直线的斜率之积等于-1，也说明两直线垂直，所以得到结论M，N位于准圆的一条直径的两个端点上，即|MN|为定值4．

解答：解：（Ⅰ）∵c=

2

，短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
∴a=

3

，∴b=1．∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1，
准圆的半径为

( 3 )2+12

=2，
∴准圆方程为x²+y²=4．
（Ⅱ）（1）因为准圆x²+y²=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2）且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，
所以由

y=kx+2 x2 3 +y2=1

消去y，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，解得k=±1．
所以l₁，l₂方程为y=x+2，y=-x+2．
则l₁，l₂与准圆的另一个交点分别为准圆与x轴的左右交点，|MN|=4．
（2）①当l₁，l₂中有一条无斜率时，不妨设l₁无斜率，
因为l₁与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=±

3

，
当l₁方程为x=

3

时，此时l₁与准圆交于点(

3

，1)，(

3

，-1)，
此时经过点(

3

，1)（或(

3

，-1)）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），
即l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可得l₁方程为x=-

3

时，直线l₁，l₂垂直．
②当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x₀，y₀），其中x02+y02=4．
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
则

y=tx+(y0-tx0) x2 3 +y2=1

，消去y得，(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0．
由△=0化简整理得：(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0．
因为x02+y02=4，所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0．
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，因为l₁，l₂与椭圆只有一个公共点，
所以t₁，t₂满足上述方程(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
综合①②知：因为l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），又分别交其准圆于点M，N，且l₁，l₂垂直，
所以线段MN为准圆x²+y²=4的直径，所以|MN|=4．
综（1）、（2），|MN|为定值4．

点评：本题考查了椭圆的标准方程即简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是新定义题，考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．第（Ⅱ）问学生不容易找到解题的方向．有些同学会忘记对斜率的讨论，对学生的方程思想要求比较高．属难题．