题目内容

设正数数列{a_n}的前n项和是b_n，数列{b_n}的前n项之积是c_n，且b_n+c_n=1（n∈N^*），则 $数学公式$ 的前10项之和等于________．

440
分析：由题意可得， $\text{[math]}$ ，由b_n+c_n=1可得b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1即2b_n+1-b_nb_n+1-1=0，则b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）=（b_n-1）（b_n+1-1+1）=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1），从而可得 $\text{[math]}$ ，由等差数列的通项公式可得， $\text{[math]}$ 可求 $\text{[math]}$ ，利用递推公式a_n=b_n-b_n-1可求a_n
解答：由题意可得， $\text{[math]}$
b_n+c_n=1
∴b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n
=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1
∴2b_n+1-b_nb_n+1-1=0
∴b_n+1（2-b_n）=1
∴0＜b_n＜2
若b_n+1=1则b_n=1，b_n-1=b_n-2=…=b₁=1与 $\text{[math]}$ 矛盾
∴b_n+1≠1
∴b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）
=（b_n-1）（b_n+1-1+1）
=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是以-2为首项，以-1为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得， $\text{[math]}$ =-n-1
∴ $\text{[math]}$
∴a_n=b_n-b_n-1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ 的前10项之和等于1²+2²+…+10²+（1+2+3+…+10）=440
故答案为：440．
点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题中的构造特殊的等差数列是解答本题的关键，对本题要求考生具备一定的逻辑退理的能力