Question

已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）试用表示△的面积，并求面积的最大值．

Answer 1

 
解：（Ⅰ）依题意可得，，，
又，
可得．
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由可得．
设，
则，．
可得．
设线段中点为，则点的坐标为，
由题意有，
可得．
可得，
又，
所以．
（Ⅲ）设椭圆上焦点为，
则.
，
由，可得．
所以．
又，
所以.
所以△的面积为（）．
设，
则．
可知在区间单调递增，在区间单调递减．
所以，当时，有最大值．
所以，当时，△的面积有最大值

略