题目内容
在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+
）an+
．（1）设bn=
，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】分析：（1）由已知得
=
+
，即bn+1=bn+
，由此能够推导出所求的通项公式．
（2）由题设知an=2n-
，故Sn=（2+4+…+2n）-（1+
+
+
+…+
），设Tn=1+
+
+
+…+
，由错位相减法能求出Tn=4-
．从而导出数列{an}的前n项和Sn．
解答：解：（1）由已知得b1=a1=1，且
=
+
，
即bn+1=bn+
，从而b2=b1+
，
b3=b2+
，
bn=bn-1+
（n≥2）．
于是bn=b1+
+
+…+
=2-
（n≥2）．
又b1=1，
故所求的通项公式为bn=2-
．
（2）由（1）知an=2n-
，
故Sn=（2+4++2n）-（1+
+
+
+…+
），
设Tn=1+
+
+
+…+
，①
Tn=
+
+
+…+
+
，②
①-②得，
Tn=1+
+
+
+…+
-
=
-
=2-
-
，
∴Tn=4-
．
∴Sn=n（n+1）+
-4．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
=+，即bn+1=bn+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知an=2n-
，故Sn=（2+4+…+2n）-（1++++…+），设Tn=1++++…+，由错位相减法能求出Tn=4-．从而导出数列{an}的前n项和Sn．解答：解：（1）由已知得b1=a1=1，且
=+，即bn+1=bn+
，从而b2=b1+，b3=b2+
，bn=bn-1+
（n≥2）．于是bn=b1+
++…+=2-（n≥2）．又b1=1，
故所求的通项公式为bn=2-
．（2）由（1）知an=2n-
，故Sn=（2+4++2n）-（1+
+++…+），设Tn=1+
+++…+，①Tn=+++…++，②①-②得，
Tn=1++++…+-=
-=2--，∴Tn=4-
．∴Sn=n（n+1）+
-4．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．