题目内容
13．已知等比数列{an}的公比大于零，a1+a2=3，a3=4，数列{bn}是等差数列，${b_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{n+c}$，c≠0是常数．（1）求的值，数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足：当n为偶数时cn=an，当n为奇数时cn=bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
分析 （1）通过联立方程组a1（1+q）=3、${a}_{1}{q}^{2}$=4，进而计算即得结论；
（2）通过当n为偶数时，利用分组法求和，进而计算可得结论．
解答 解：（1）∵a1+a2=3，a3=4，
∴a1（1+q）=3，${a}_{1}{q}^{2}$=4，
解方程组得到：a1=1，q=2，
则${a_n}={2^{n-1}}$；
利用2b2=b1+b3得c=1，
于是得到bn=n；
（2）当n为偶数时，
Sn=c1+c2+…+cn
$\begin{array}{l}=（{{b_1}+{b_3}+…+{b_{n-1}}}）+（{{a_2}+{a_4}+…+{a_n}}）\\=\frac{{\frac{n}{2}（{1+n-1}）}}{2}+\frac{{2（{1-{4^{\frac{n}{2}}}}）}}{1-4}\end{array}$
=$\frac{n^2}{4}+\frac{2}{3}（{{2^n}-1}）$，
当n为奇数时，Sn=c1+c2+…+cn
=${S_{n-1}}+{c_n}=\frac{{{{（{n-1}）}^2}}}{4}+\frac{2}{3}（{{2^{n-1}}-1}）+n$
=$\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{4}+\frac{2}{3}（{{2^{n-1}}-1}）$．
点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
4．若函数f（x）=cos（asinx）-sin（bcosx）没有零点，则a2+b2的取值范围是（ ）
| A． | [0，1） | B． | [0，π2） | C． | $[0\;，\;\frac{π^2}{4}）$ | D． | [0，π） |
1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\-{x^2}+2ax+1，x≥1\end{array}\right.$是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，1] | B． | $[{\frac{1}{5}，\frac{1}{3}}）$ | C． | $（{-∞，\frac{1}{3}}）$ | D． | $[{\frac{1}{5}，1}]$ |
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）．