Question

（2012•道里区二模）已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在BC上，且CF=2FB．
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）当FG⊥平面AEC时，求二面角P-CD-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证FG∥平面PAB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证FG与平面PAB内一直线平行，连接CG延长交PA于M，连BM，根据比例可得FG∥BM，BM?平面PAB，FG?平面PAB，满足定理条件；
（2）连EM，根据二面角平面角的定义可知∠PDA二面角P-CD-A的平面角，在△PDA中求出此角的正切值即可．

解答：（1）证明：连接CG交AP于M点
∵G为△PAC的重心，∴

CG

GM

=

CF

BF

=

2

1

，∴FG∥BM，
又BM?平面PAB，∴FG∥平面PAB…（4分）
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，所以AD⊥CD，所以PD⊥CD，所以∠PDA即为二面角的平面角 …（6分）
在直角梯形ABCD中，ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，所以AD=

2

…（7分）
连BM，连EM，
∵FG⊥平面AEC，∴FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=

1

2

AB=1，
设EA∩BM=H，则EH=

1

2

HA，
设PA=h，则EA=

1

2

PB=

1

2

4+h2

，EH=

1

3

EA=

1

6

4+h2

，
∵Rt△AME～Rt△MHE，
∴EM²=EH•EA．
∴

1

2

4+h2

•

1

2

4+h2

=1，
∴h=2

2

，即PA=2

2

…（9分）
∴tan∠PAD=

PA

AD

=2…（12分）

点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及直线与平面平行的判定，考查面面角，属于中档题．