题目内容

以抛物线C：y²=8x上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点，那么该圆的方程为________．

$\text{[math]}$
分析：设A的坐标（x，y），根据半径相等求出关于x、y的关系式，求出x、y、R的值，写出圆的标准方程．
解答：设A（x，y），且y²=8x
∴焦点（2，0），顶点（0，0）
∵A为圆心，过焦点和顶点
∴（x-2）²+y²=x²+y²
∴A（1，±2 $\text{[math]}$ ）
∴R=3
∴（x-1）²+（y-2 $\text{[math]}$ ）²=9或（x-1）²+（y+2 $\text{[math]}$ ）²=9
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了圆的标准方程、抛物线的简单性质，要注意根据具体的条件选择圆的一般方程和标准方程．属于基础题．

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（2013•婺城区模拟）已知抛物线C：

=2px(p＞0)，M点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足

，O为坐标原点．
（I）求抛物线C的方程；
（II）以M点为起点的任意两条射线l₁，l₂的斜率乘积为l，并且l₁与抛物线C交于A、B两点，l₂与抛物线C交于D、E两点，线段AB、DE的中点分别为G、H两点．求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．

已知P（x₀，8）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点，F是C的焦点，以PF为直径的圆M与x轴的另一个交点为Q（8，0）．
（Ⅰ）求C与M的方程；
（Ⅱ）过点Q且斜率大于零的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为

，证明：直线l与圆M相切．

（2012•长宁区二模）设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P₁，P₂两点，已知|P₁P₂|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为

)的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；
（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由．
②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为8且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于10，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为8且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于10，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．