Question

已知P（x₀，8）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点，F是C的焦点，以PF为直径的圆M与x轴的另一个交点为Q（8，0）．
（Ⅰ）求C与M的方程；
（Ⅱ）过点Q且斜率大于零的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为

64

3

13

，证明：直线l与圆M相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直径所对的圆周角为直角得到PQ⊥FQ，从而得到P的坐标，代入抛物线方程求出p的值，则抛物线方程可求，其焦点坐标可求，由中点坐标公式求出M的坐标，由焦半径公式求出直径，则圆M的方程可求；
（Ⅱ）由题意设出直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B的纵坐标的和与积，代入三角形的面积公式后求出直线的斜率，则直线方程可求，由M到直线的距离等于半径证得结论．

解答：（Ⅰ）解：如图，
PF为圆M的直径，则PQ⊥FQ，即x₀=8，
把P（8，8）代入抛物线C的方程求得p=4，
即C：y²=8x，F（2，0）；
又圆M的圆心是PF的中点M（5，4），半径r=5，
则M：（x-5）²+（y-4）²=25．
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=k（x-8）（k＞0），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
由

y2=8x y=k(x-8)

，得y2-

8

k

y-64=0，则yA+yB=

8

k

，   yA•yB=-64．
设△AOB的面积为S，则

S= 1 2 |OQ|•|yA-yB|=4 (yA+yB)2-4yA•yB =4 64 k2 +256 =32 1 k2 +4

=

64

3

13

．
解得：k2=

9

16

，又k＞0，则k=

3

4

．
∴直线l的方程为y=

3

4

(x-8)，即3x-4y-24=0．
又圆心M（5，4）到l的距离d=

|15-16-24|

5

=5，故直线l与圆M相切．

点评：本题考查了曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，考查了学生的计算能力，是高考试题中的压轴题．