题目内容
已知椭圆
的中心在原点，长轴在
轴上，若椭圆上有一点
到两焦点的距离分别是
和
，且过点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试探究椭圆上是否存在两点
关于直线
对称，如果存在，求出实数
的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设所求椭圆的方程为
，两焦点
的距离
∵
，∴
又
为直角三角形，
为直角边
∴
，∴
，
∴所求椭圆方程为
（Ⅱ） 方法一：假设椭圆
上存在两点
关于直线
对称，设直线
的方程为
．
联立方程组得
消取
得
整理得
③
设两点的坐标分别是
和
，则
是方程③的两个不相等的实根
∴
，
∴
④
又设
是的中点，
∴
，∴
又点
在对称轴
上
∴
，
∴
⑤
把⑤代入④得
，∴
故椭圆上存在两点关于直线对称，实数
的取值范围是
．
方法二：假设椭圆上存在两点
关于直线对称，设的中点为，则
由①-②得
⑥
把③④⑤代入⑥得
又
，
∴
又点在椭圆内
∴
∴
∴
∴
故椭圆上存在两点关于直线对称，实数的取值范围是．
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