Question

解答题 如图，P是抛物线C：y＝x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q． (1) 当点P的横坐标为2时，求直线l的方程； (2) 当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：把x＝2代入，得y＝2，∴点P坐标为(2，2)．(2分) 由，①得，∴过点P的切线的斜率k切＝2，(4分) 直线l的斜率kl＝－＝∴直线l的方程为y－2＝－(x－2)， 即x＋2y－6＝0．(6分)
(2)	解：∵过点P的切线斜率k初＝x0，当x0＝0时不合题意，(8分) ∴直线l的斜率kl＝－＝， 直线l的方程为②(10分) 　　方法一：联立①②消去y，得x2＋x－x02－2＝0．设Q ∵M是PQ的中点， ∴(12分) 消去x0，得y＝x2＋(x≠0)就是所求的轨迹方程．(14分) 　　方法二： 设Q则 由y0＝x02，y1＝x12，x＝(8分) ∴y0－y1＝x02－x12＝(x0＋x1)(x0－x1)＝x(x0－x1)，(10分) ∴∴(12分) 将上式代入②并整理，得y＝x2＋(x≠0)就是所求的轨迹方程．(14分)