Question

（本题满分14分）如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.

（1）求椭圆的方程；

（2）记△的面积为，△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）不存在直线，使得 ．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，由已知、、构成等差数列，即，由椭圆的定义可得，，由已知焦点为及，可得，可求出，从而得椭圆的标准方程；（2）记△的面积为，△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由，这是探索性命题，一般假设其存在，本题假设存在直线，使得 ，由题意直线不能与轴垂直，故设方程为，将其代入，整理得 ，设，，由根与系数关系，表示出点的坐标，写出中垂线方程，得点的坐标，由于和相似，若，则，建立方程，求解斜率的值，若有解，则存在，若无解，则不存在.

试题解析：（1）因为、、构成等差数列，

所以，所以. （2分）

又因为，所以， （3分）

所以椭圆的方程为. （4分）

（2）假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．

设方程为 （5分）

将其代入，整理得 （6分）

设，，所以 ．

故点的横坐标为．所以 ． （8分）

因为 ，所以 ， 解得 ，

即 （10分）

和相似，若，则 （11分）

所以 ， （12分）

整理得 ． （13分）

因为此方程无解，所以不存在直线，使得 ． （14分）

考点：椭圆的方程，直线与二次曲线位置关系.