Question

如图，已知平行六面体ABCD－的底面ABCD是菱形，且===.

（I）证明：⊥BD；

（II）假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值；

（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明.

 

Answer 1

答案：
解析：

（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结. ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD. 又∵  ， ∴ ， ∴ ， ∵ DO=OB， ∴ BD，                                                                                         但 AC⊥BD，AC∩=O， ∴ BD⊥平面. 又 平面， ∴ BD.                                                                                           （II）解：由（I）知AC⊥BD，BD， ∴ 是二面角的平面角. 在中，BC=2，，， ∴ .                                   ∵ ∠OCB=， ∴ OB=BC=1. ∴ ， ∴ 即. 作⊥OC，垂足为H. ∴ 点H是OC的中点，且OH， 所以 .                                                                 （III）当时，能使⊥平面. 证法一： ∵ ， ∴ BC=CD=， 又 ， 由此可推得BD=. ∴三棱锥C－ 是正三棱锥                                                              设与相交于G. ∵∥AC，且∶OC=2∶1， ∴∶GO=2∶1. 又是正三角形的BD边上的高和中线， ∴点G是正三角形的中心， ∴CG⊥平面. 即⊥平面                                                                          证法二： 由（I）知，BD⊥平面， ∵平面，∴BD⊥.                                                     当时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD⊥的证法可得⊥. 又 BD∩=B， ∴⊥平面.