Question

如图，已知平行六面体ABC-A₁B₁C₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面中心，且A₁在底面ABCD上的射影为O．
（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，问F在何处时，EF⊥AD？

Answer 1

分析：（1）根据面面垂直的判定定理，只需证明CO₁⊥平面ABCD，因为A₁在底面ABCD上的射影为O，从而可证明在平行四边形ACC₁A₁中，CO₁∥A₁O．
（2）过E作AC垂线，垂足为G，易证EG⊥平面AC，要EF⊥AD，即EF⊥BC，则需证明GF⊥BC，而FG∥AB，由比例关系可求得F点位置．

解答：解．（1）∵平行六面体底面为正方形，∴A₁A∥CC₁，∴A₁C₁∥AC，
又O₁，O分别为上下底面中心，∴A₁O₁∥CO，A₁O₁=CO，
∴四边形A₁O₁CO为平行四边形，∴CO₁∥A₁O．
A₁在底面ABCD射影为O，∴A₁O⊥平面AC，所以CO₁⊥平面AC，
又CO₁?平面O₁DC，∴平面O₁DC⊥平面ABCD．
（2）过E作AC垂线，垂足为G，则EG∥A₁O，∴EG⊥平面AC，
若要EF⊥AD，即EF⊥BC，则需GF⊥BC，
∵底面ABCD为正方形，∴FG∥AB，
由A₁E=

1

2

AE，则OG=

1

2

AG，∴

GF

AB

=

CF

CB

=

CG

CA

=

4

6

=

2

3

，
∴F为BC的三等分点，靠近B．

点评：本题考查面面垂直、线面垂直的判定，属基础题，相关判定定理是解决有关问题的基础．