Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比q＞0，前n项和为S_n．
（Ⅰ）试比较

S3

a3

与

S5

a5

的大小；
（Ⅱ）设{a_n}满足：lga1+

lga2

2

+

lga3

3

+…+

lgan

n

=n(n∈N*)，数列{b_n}满足：bn=

1

n

(lga1+lga2+…+lgan+lgk)，求数列{a_n}的通项公式和使数列{b_n}成等差数列的正数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对公比q的值进行分类讨论：①当q=1时，

S3

a3

=3，

S5

a5

=5，②当q＞0且q≠1时，结合作差法比较大小即可得到：

S3

a3

＜

S5

a5

；
（Ⅱ）先就n的值讨论：当n=1时；当n≥2时，两式相减，从而求出数列{a_n}的通项公式，再计算出数列{b_n}的通项公式，要使{b_n}成等差数列，bn+1-bn=

1

2

+(

1

n+1

-

1

n

)lgk为常数从而求出k值．

解答：解：（Ⅰ）①当q=1时，

S3

a3

=3，

S5

a5

=5，
∴

S3

a3

＜

S5

a5

．
②当q＞0且q≠1时，

S3

a3

-

S5

a5

=

q2(1-q3)-(1-q5)

q4(1-q)

=

-1-q

q4

＜0，
此时也有

S3

a3

＜

S5

a5

．
 综上可知：

S3

a3

＜

S5

a5

．                             …（4分）
（Ⅱ）当n=1时，lga₁=1⇒a₁=10.lga1+

lga2

2

+

lga3

3

+…+

lgan

n

=n，①
∴当n≥2时，lga1+

lga2

2

+

lga3

3

+…+

lgan-1

n-1

=n-1，②
将①-②得：

lgan

n

=1，
∴lga_n=n，∴a_n=10ⁿ．
综上可知：对n∈N^*，a_n=10ⁿ．                 …（8分）
∴bn=

1

n

lgk(a1a2…an)=

1

n

lgk(10•102…10n)=

1

n

lg[k•10

n(n+1)

2

]=

1

n

lgk+

n+1

2

．
要使{b_n}成等差数列，则bn+1-bn=

1

2

+(

1

n+1

-

1

n

)lgk为常数，…（10分）
故只须lgk=0，即k=1．                      …（12分）

点评：本小题主要考查等差关系的确定、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．