Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1）若时，函数的单调递增区间为；若时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导函数，然后分类讨论，当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，单调递减区间为，；

（2）求出的导函数 ，当时，在上单调递增，故而在存在唯一的零点，即，则当时，单调递减，当时，单调递增，从而可证得结论．

（1）解：由函数，．

得，．

若时，，函数的单调递增区间为；

若，时，，函数单调递增，

若时，，函数单调递减，

综上，若时，函数的单调递增区间为，

若时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；

（2）证明：，．

则 ．

当时，在上单调递增，

又（1），，

（2），

故而在存在唯一的零点，即．

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故而．

又，，

．

函数的对称轴为，

因为，所以，

因为函数开口向下，，

所以，

所以.