题目内容
（2012•湖北模拟）已知函数f(x)=
，其导函数记为f（x），则f（2012）+f'（2012）+f（-2012）-f'（-2012）=
| (x+1)2+sinx | x2+1 |
2
2
．分析：先把原函数化简，由商的导数可得导函数，可判其为偶函数，而f（x）可看作奇函数加1，由函数的奇偶性易得答案．
解答：解：由题意可得函数f(x)=
=
=1+
，
故其导函数f′（x）=
，
易证f′（-x）=f′（x），故导函数f′（x）为偶函数，所以f'（2012）=f'（-2012）；
记函数h(x)=
，显然有h（-x）=-h（x），即h（x）为奇函数，
可得h（-2012）=-h（2012），即h（2012）+h（-2012）=0，
故f（2012）+f'（2012）+f（-2012）-f'（-2012）=f（2012）+f（-2012）
=1+h（2012）+1+h（-2012）=2+h（2012）+h（-2012）=2，
故答案为：2
| (x+1)2+sinx |
| x2+1 |
| x2+1+2x+sinx |
| x2+1 |
| 2x+sinx |
| x2+1 |
故其导函数f′（x）=
| (2+cosx)(x2+1)-(2x+sinx)(2x) |
| (x2+1)2 |
易证f′（-x）=f′（x），故导函数f′（x）为偶函数，所以f'（2012）=f'（-2012）；
记函数h(x)=
| 2x+sinx |
| x2+1 |
可得h（-2012）=-h（2012），即h（2012）+h（-2012）=0，
故f（2012）+f'（2012）+f（-2012）-f'（-2012）=f（2012）+f（-2012）
=1+h（2012）+1+h（-2012）=2+h（2012）+h（-2012）=2，
故答案为：2
点评：本考查函数的求导运算，运用函数的奇偶性是解决问题的关键，属基础题．
练习册系列答案
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