Question

已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4 .

(1)求抛物线G的方程；

(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

Answer 1

解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率为时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.

由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，

∴

又∵＝4，∴y2＝4y1，③

由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，

则抛物线G的方程为x2＝4y.

(2)设l：y＝k(x＋4)，

BC的中点坐标为(x0，y0)，

由得x2－4kx－16k＝0，④

∴x0＝＝2k，

y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.

∴线段BC的中垂线方程为

y－2k2－4k＝－(x－2k)，

∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：

b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．

故b的取值范围为(2，＋∞)．