题目内容

已知函数 $数学公式$ （x＞0，x≠1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若不等式 $数学公式$ 对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）函数 $\text{[math]}$ 的定义域为（0，1）∪（1，+∞）， $\text{[math]}$ ，…（3分）
令f'（x）=0，解得x=e，列表

x	（0，1）	（1，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	-	-	0	+
（0，1）	单调递减	单调递减	极小值f（e）	单调递增

由表得函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，e），单调减区间为（e，+∞）；
所以极小值为f（e）=e，无极大值．
（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；
当x＞0时，在 $\text{[math]}$ 两边取自然对数，得 $\text{[math]}$ ，
1°当0＜x≤1时，lnx≤0，当a＞0，不等式恒成立；如果a＜0，lnx＜0，alnx＞0，不等式等价于 $\text{[math]}$ ，
由（1）得，此时 $\text{[math]}$ ，不等式不恒成立．
2°当x＞1时，lnx＞0，则a＞0，不等式等价于 $\text{[math]}$ ，由（1）得，此时 $\text{[math]}$ 的最小值为e，得0＜a＜e．…（14分）
综上：a的取值范围是0＜a＜e．
分析：（1）先确定函数的定义域，再求导函数，确定函数的单调区间，从而确定函数f（x）的极值；
（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；当x＞0时，在 $\text{[math]}$ 两边取自然对数，得 $\text{[math]}$ ，再分0＜x≤1，x＞1，进行讨论，进而可求a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想，有综合性．

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已知函数f(x)=alnx-

，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间．

（2007•嘉定区一模）已知函数f(x)=

，m＞0且f（1）=-1．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：
①有且仅有一个实数解；
②有两个不同的实数解；
③有三个不同的实数解．

已知函数f(x)＝log_a(a＞0，a≠1)，

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判定函数f(x)的奇偶性；

(3)求使f(x)＞0的x的取值范围．

已知函数f(x)满足：对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)－f(x)－f(y)＋2成立，且x＞0时，f(x)＞2．

(1)求f(0)的值，并证明：当x＜0时，1＜f(x)＜2；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明．

(3)若函数g(x)＝|f(x)－k|在(－∞，0)上递减，求实数k的取值范围．

已知函数f(x)＝alnx－x²＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x₁、x₂∈(0，＋∞)，都|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，

即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x²＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x²＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是