Question

已知函数f(x)=alnx-

1

x

，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）求得函数f（x）的定义域，求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，即可求a的值；
（II）由于f′(x)=

ax+1

x2

，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)=

a

x

+

1

x2

．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，所以f′（1）=a+1=2．解得a=1．
（II）由于f′(x)=

ax+1

x2

．
当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f′（x）＞0在定义域上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当a＜0时，由f′（x）=0，得x=-

1

a

∈（0，+∞）；
当x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈(-

1

a

，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．