Question

（1）已知cosα=

4

5

，cos(α+β)=

5

13

，α，β为锐角，求sinβ.
（2）已知cos(

π

4

+x)=

3

5

，

17

12

π＜x＜

7

4

π，求

sin2x+2sinxcosxtanx

1-tanx

的值．
（3）设cos(α-

β

2

)=-

1

9

，sin(

α

2

-β)=

2

3

，(

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

)，求cos(α+β).

Answer 1

分析：（1）先根据α，β的范围求得sinα和sin（α+β）进而根据两角和公式求得答案．
（2）先求得sin（x+

π

4

），进而求得tan（x+

π

4

），根据正切的两角和公式求得tanx，进而根据万能公式求得sin2x和cos2x，代入

sin2x+2sinxcosxtanx

1-tanx

中即可．
（3）先根据α，β的范围求得sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β），进而根据两角和公式求得cos

α+β

2

，进而根据倍角公式求得cos（α+β）．

解答：解：（1）∵cosα=

4

5

，cos(α+β)=

5

13

，α，β为锐角，.
∴sinα=

1- 16 25

=

3

5

，sin（α+β）=

1- 25 169

=

12

13

∴sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

12

13

×

4

5

+

5

13

×

3

5

=

63

65

（2）∵

17

12

π＜x＜

7

4

π
∴

5π

3

＜x+

π

4

＜2π
∴sin（x+

π

4

）=-

1- 9 25

=-

4

5

∴tan（x+

π

4

）=-

4

3

=

1+tanx

1-tanx

∴tanx=7
∴sin2x=

2tanx

1+tan 2x

=

7

25

，cos2x=

1-tan2x

1+tan2x

=-

24

25

∴

sin2x+2sinxcosxtanx

1-tanx

=

sin2x-cos2x+1

1-tanx

=-

48

75

（3）∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

.
∴sin（α-

β

2

）=

1- 1 81

=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

1- 4 9

=

5

3

∴cos

α+β

2

=cos（α-

β

2

-

α

2

+β）=cos（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

∴cos（α+β）=2cos²

α+β

2

-1=-

11

81

点评：本题主要考查了利用三角函数的基本公式化简求值．解题的时候要特别注意三角函数值的正负号．