Question

【题目】已知函数 ．
（1）如果a＞0，函数在区间 上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 ，x＞0，则 ，（1分）

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；

当x＞1时，f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．

因为函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值，

所以 解得

（2）解：不等式 ，即为 ，记 ，

所以 =

令h（x）=x﹣lnx，

则 ，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，

从而g'（x）＞0，

故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，

所以k≤2

【解析】（1）因为 ，x＞0，x＞0，则 ，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．（2）不等式 ，即为 ，构造函数 ，利用导数知识能求出实数k的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值的相关知识，掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．