Question

【题目】已知函数f（x）= 是定义在R上的奇函数，且f（1）=2．
（1）求实数a，b并写出函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 是定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，

又由f（1）=2．

故 ，

解得：a=4，b=0，

f（x）=

（2）解：函数f（x）在（﹣1，1）上的单调递增，理由如下：

∵f（x）= ，

∴f′（x）= ，

当x∈（﹣1，1）时，f′（x）≥0恒成立，

故函数f（x）在（﹣1，1）上的单调递增

【解析】（1）根据奇函数的特性，可得f（0）=0，又由f（1）=2．可得实数a，b的值，进而得到函数f（x）的解析式；（2）求导，分析导数的符号，进而判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调递增．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．