题目内容
18．已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$的最小值．分析 $\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（x+2y+3z）=1+4+9+$\frac{2y}{x}$+$\frac{3z}{x}$+$\frac{2x}{y}$+$\frac{6z}{y}$+$\frac{3x}{z}$+$\frac{6y}{z}$，运用基本不等式，即可得出结论．
解答 解：$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（x+2y+3z）=1+4+9+$\frac{2y}{x}$+$\frac{3z}{x}$+$\frac{2x}{y}$+$\frac{6z}{y}$+$\frac{3x}{z}$+$\frac{6y}{z}$
≥14+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{2x}{y}}$+2$\sqrt{\frac{3z}{x}•\frac{3x}{z}}$+2$\sqrt{\frac{6z}{y}•\frac{6y}{z}}$=36，
（当且仅当x=y=z=$\frac{1}{6}$时等号成立）
所以$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$的最小值为36．…（10分）
点评 本题考查基本不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
6．已知函数f（x）=ex（x2+2ax+b）在x=-1处取得极大值t，则t的取值范围是（ ）
| A． | （$\frac{2}{e}$，+∞） | B． | （-∞，$\frac{2}{e}$） | C． | （-$\frac{2}{e}$，+∞） | D． | （-∞，-$\frac{2}{e}$） |