Question

10．已知斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱长均为2，∠A₁AD=60°，∠BAD=90°，平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，则直线BD₁与平面ABCD所成的角的正切值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{39}}{13}$
• D． $\frac{\sqrt{39}}{3}$

Answer 1

分析 延长AD，过D₁作D₁E⊥AD于E，连结BE，说明∠D₁BE为直线BD₁与平面ABCD所成的角，然后求解即可．

解答 解：延长AD，过D₁作D₁E⊥AD于E，连结BE，
因为平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，平面A₁ADD₁∩平面ABCD=AD，
所以D₁E⊥平面ABCD，即BE为BD₁在平面ABCD内的射影，
所以∠D₁BE为直线BD₁与平面ABCD所成的角，
因为D₁E=2sin60°=$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{{AB}^{2}+{AE}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
所以，tan∠D₁BE=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，考查计算能力，空间想象能力．