Question

下面四个不等式：
（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）a（1-a）≤

1

4

；
（3）

b

a

+

a

b

≥2；
（4）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
其中恒成立的序号有

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式a²+b²≥2ab即可证得a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）(a-

1

2

)2≥0即可推出a（1-a）≤

1

4

；
（3）当a，b同正或同负时，

b

a

+

a

b

≥2才成立；
（4）利用（ac-bd）²≥0即可证得（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；

解答：解：（1）∵a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，故（1）正确；
（2）∵(a-

1

2

)2≥0，
∴a（1-a）≤

1

4

；故（2）正确；
（3）当a，b同正或同负时，

b

a

+

a

b

≥2才成立，故（3）错误；
（4）∵（ac-bd）²≥0，
∴a²c²+b²d²≥2abcd，
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，故（4）正确．
综上所述，其中恒成立的序号有（1）（2）（4）．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本题考查不等关系的判断与证明，考查分析，推理与运算能力，属于中档题．