Question

下面四个不等式：
（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）a（1-a）≤

1

4

；
（3）

b

a

+

a

b

≥2；
（4）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
其中恒成立的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：作差，进而可以因式分解，从而得到完全平方式，故可证（1）（4），根据基本不等式可证（2），（3）可利用取特殊值进行判定．

解答：解：（1）a²+b²+c²-ab-ac-bc
=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=

1

2

[（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（a²-2ac+c²）]
=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]≥0，故恒成立；
（2）a（1-a）≤(

a+1-a

2

)2=

1

4

，故恒成立；
（3）当a=1，b=-1时，不等式不成立，故不恒成立；
（4）∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-（a²c²+b²d²+2acbd）
=a²d²+b²c²-2acbd=（ad-bc）²≥0则（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，故恒成立；
故选C．

点评：本题主要考查了基本不等式的证明，以及配方法的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．