Question

（2013•宜宾一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，短轴长为4

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2．-3）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ的斜率是否为定值，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程，利用离心率为

1

2

，短轴长为4

3

，求出几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程代入椭圆方程，确定x₁+x₂，x₁-x₂，即可求得斜率．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由已知b=2

3

，离心率e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，得a=4，
所以，椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
则PA的直线方程为y-3=k（x-2）代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0
∴x1+2=

8(2k-3)k

3+4k2

同理x2+2=

8(2k+3)k

3+4k2

∴x₁+x₂=

16k2-12

3+4k2

，x₁-x₂=

-48k

3+4k2

∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+x2)-4k

x1-x2

=

1

2

∴直线AB的斜率为定值

1

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．